Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной...

Для начала построим треугольник ABC и его описанную окружность. Так как радиус описанной окружности равен 6 см, то длина стороны треугольника ABC равна 26sin$60°$ = 12 см $поформулерадиусаописаннойокружностиR=a/(2\ast sin(A$), где a - сторона треугольника, A - угол противоположный этой стороне).

Далее проведем биссектрису угла ABC, которая пересечет сторону AC в точке O. Так как угол ABC равен 60°, то угол ABO также равен 60° $таккакбиссектрисаделитуголнадверавныечасти$. Также угол OAC равен 30° $таккактреугольникABO-равнобедренный,поэтомууголOABравенуглуOBA,которыйвсвоюочередьравен30°$.

Теперь мы видим, что треугольник AOC - равнобедренный, так как угол ACO равен углу CAO $30°$ и стороны AO и CO равны, так как они являются радиусами описанной окружности треугольника AOC. Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника AOC, также равен 6 см.

Радиус окружности, описанной около треугольника AOC, равен 12 см.

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$, воспользуемся следующим подходом.

1. Исходные данные и обозначения:

   • Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $R=6$ см.
   • Угол $\mathrm{\angle }ABC={60}^{\circ }$.

2. Свойства окружности и точки $O$:

   • Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, поскольку она является точкой пересечения биссектрис.
   • В треугольнике $ABC$ с углом $\mathrm{\angle }ABC={60}^{\circ }$ и известным радиусом описанной окружности, мы знаем, что треугольник может быть равносторонним, равнобедренным или произвольным. Однако, если треугольник равносторонний, то все углы будут по ${60}^{\circ }$.

3. Рассмотрим случай равностороннего треугольника $ABC$:

   • Если треугольник равносторонний, то все его стороны равны и равны $a$.
   • Формула радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника: $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$. У нас $R=6$, значит: $a=6\cdot \sqrt{3}$
   • В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности, поэтому точка $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$.

4. Нахождение радиуса описанной окружности треугольника $AOC$:

   • В равностороннем треугольнике $ABC$, если рассмотреть треугольник $AOC$, то угол $\mathrm{\angle }AOC$ равен ${120}^{\circ }$ $таккак(\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }BOC={120}^{\circ }$ в равностороннем треугольнике с центром в точке $O$).
   • Поскольку $AOC$ — равнобедренный треугольник $стороны(AO$ и $CO$ равны, так как это радиусы вписанной окружности равностороннего треугольника, равного по длине радиусу этой окружности), можно использовать свойство равнобедренного треугольника и формулу для нахождения радиуса описанной окружности: [ R{AOC} = \frac{AO \cdot CO \cdot AC}{4 \cdot S{AOC}} ]
   • Здесь $AO=CO=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot a=2\sqrt{3}$, а $AC=a=6\sqrt{3}$.
   • Площадь треугольника $AOC$ можно найти с использованием формулы для площади через синус угла между сторонами: $S_{AOC}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot CO\cdot \sin ({120}^{\circ })=\frac{1}{2}\cdot (2\sqrt{3}{)}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
   • Подставляем значения в формулу радиуса ( R{AOC} ): [ R{AOC} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}}{4 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{72\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = 6 ]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$, равен $6$ см.