Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной...

Для начала построим треугольник ABC и его описанную окружность. Так как радиус описанной окружности равен 6 см, то длина стороны треугольника ABC равна 26sin(60°) = 12 см (по формуле радиуса описанной окружности R = a/(2*sin(A)), где a - сторона треугольника, A - угол противоположный этой стороне).

Далее проведем биссектрису угла ABC, которая пересечет сторону AC в точке O. Так как угол ABC равен 60°, то угол ABO также равен 60° (так как биссектриса делит угол на две равные части). Также угол OAC равен 30° (так как треугольник ABO - равнобедренный, поэтому угол OAB равен углу OBA, который в свою очередь равен 30°).

Теперь мы видим, что треугольник AOC - равнобедренный, так как угол ACO равен углу CAO (30°) и стороны AO и CO равны, так как они являются радиусами описанной окружности треугольника AOC. Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника AOC, также равен 6 см.

Радиус окружности, описанной около треугольника AOC, равен 12 см.

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника ( AOC ), воспользуемся следующим подходом.

1. Исходные данные и обозначения:

   • Радиус окружности, описанной около треугольника ( ABC ), равен ( R = 6 ) см.
   • Угол ( \angle ABC = 60^\circ ).

2. Свойства окружности и точки ( O ):

   • Точка ( O ) — центр вписанной окружности треугольника ( ABC ), поскольку она является точкой пересечения биссектрис.
   • В треугольнике ( ABC ) с углом ( \angle ABC = 60^\circ ) и известным радиусом описанной окружности, мы знаем, что треугольник может быть равносторонним, равнобедренным или произвольным. Однако, если треугольник равносторонний, то все углы будут по ( 60^\circ ).

3. Рассмотрим случай равностороннего треугольника ( ABC ):

   • Если треугольник равносторонний, то все его стороны равны и равны ( a ).
   • Формула радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника: ( R = \frac{a}{\sqrt{3}} ). У нас ( R = 6 ), значит: [ a = 6 \cdot \sqrt{3} ]
   • В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности, поэтому точка ( O ) — центр равностороннего треугольника ( ABC ).

4. Нахождение радиуса описанной окружности треугольника ( AOC ):

   • В равностороннем треугольнике ( ABC ), если рассмотреть треугольник ( AOC ), то угол ( \angle AOC ) равен ( 120^\circ ) (так как ( \angle AOB = \angle BOC = 120^\circ ) в равностороннем треугольнике с центром в точке ( O )).
   • Поскольку ( AOC ) — равнобедренный треугольник (стороны ( AO ) и ( CO ) равны, так как это радиусы вписанной окружности равностороннего треугольника, равного по длине радиусу этой окружности), можно использовать свойство равнобедренного треугольника и формулу для нахождения радиуса описанной окружности: [ R{AOC} = \frac{AO \cdot CO \cdot AC}{4 \cdot S{AOC}} ]
   • Здесь ( AO = CO = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot a = 2\sqrt{3} ), а ( AC = a = 6\sqrt{3} ).
   • Площадь треугольника ( AOC ) можно найти с использованием формулы для площади через синус угла между сторонами: [ S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} ]
   • Подставляем значения в формулу радиуса ( R{AOC} ): [ R{AOC} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}}{4 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{72\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = 6 ]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ( AOC ), равен ( 6 ) см.